Deponiamo 2, dietro a cui si scrive una virgola per separare le frazioni, indi si continua: 9 più 2 che si portano danno 11, più 4 danno 15, più 3 fanno 18.

 Bisogna però osservare che se il sottraendo ed il minuendo non avessero egual numero di cifre nelle frazioni, si supplisce con altrettanti 0.

 ° Quando il divisore ed il dividendo hanno egual numero di cifre nelle frazioni, si toglie la virgola e si fa l'operazione come se fossero interi.

 ° Qualora il dividendo od il divisore abbiano disugual numero di cifre nelle frazioni, si rendono pari cori altrettanti zero.

 Si aggingne uno 0 perchè le cifre delle frazioni de1 divisore siano pari a quelle del dividendo, e, fatta secondo il solito la divisione, avremo per quoziente 21 che è il prezzo di ciascun miriagramma.

 Nel prodotto si separeranno le tre cifre di frazioni; onde si dirà: 45 piedi fanno 23 metri, più 130 millimetri, ovvero 13 centimetri.

 Per ridurre i piedi di Piemonte in metri si moltiplica il numero dei piedi pel fattore 514, che sono millimetri, e, separate dal {41 [41]} prodotto le tre frazioni, ne risulteranno i metri e parti del metro.

 Qui si seguono le regole solite della moltiplica decimale, separando cioè tante cifre quante sono le frazioni.

 La separazione di tre cifre ha luogo sempre quando le unità noti sieno accompagnate da frazioni.

 Per ridurre i metri in tese si moltiplicano i metri pel fattore 583, e, separate tre cifre dal prodotto, si otterranno le tese e frazioni.

 Regola Per ridurre i trabucchi quadrati in metri quadrati si moltiplicano i trabucchi pel fattore 9526, e, separate tre cifre nel prodotto, si otterranno i metri e frazioni del metro.

 e frazioni decimali.

 Quanti piedi quadrati si otterranno con 9 metri quadrati e 275 frazioni decimali?.

 Volendo ridurre le ettare in giornate si moltiplicano le ettare pel fattore 2625, e, separate tre cifre, si trovano le giornate e frazioni.

 Separate tre cifre pel fattore, e tre altre per le frazioni 208, si otterranno 7 trabucchi cubi, 997,072 decimali, cioè poco meno di 8 trabucchi.

 Separate cinque cifre, due pel fattore e tre per le frazioni 080, si avranno 29 piedi cubi, 98800 decimali, cioè poco meno di 30 piedi cubi.

 Per convertire le oncie in ettogrammi si moltiplicano le oncie pel numero fisso 307, e, separate nel prodotto tre cifre, ne risulteranno gli ettogrammi e frazioni decimali.

 Per la moltiplicazione nel sistema antico eravamo mancanti di prova propriamente detta; era bensi da alcuni usata la regola del 9, ma la varietà delle frazioni la rendevano impraticabile.

 R. Si chiamano frazioni decimali.

 R. Nella numerazione decimale bisogna separare le frazioni dalle unità intere per mezzo di una virgola.

 R. Si fa come quella dei numeri interi, badando solo di separare gì'interi dalle frazioni con una virgola; e quando dalla colonna delle frazioni si passa a quella delle unità, si portano le decine secondo il solito senza far conto che siano numeri interi o frazioni.

 Si dirà: 7 più 5 danno 12, si depone 2 e si prosegue: l più 8 danno 9, più 6 danno 15, più 7 fanno 22; deponiamo 2, dietro cui si scrive una virgola per separare le frazioni, indi si continua: 9 più 2 che si portano danno 11, più 4 danno 15, più 3 danno 18, totale 18, 22.

 R. La sottrazione dei numeri decimali si fa come quella dei numeri interi, avvertendo solo di separare nel residuo gl'interi delle frazioni decimali con una virgola, la quale però deve sempre essere in colonna con quelle del minuendo e sittraendo.

 R. La moltiplicazione dei decimali si fa come quella dei numeri interi, notando solamente: 1 o Quando vi sono delle frazioni si fa la moltiplicazione come se fossero tutti interi senza far caso della virgola.

 2° Quando il dividendo od il divisore abbiano disugual numero di cifre nelle frazioni, lo si rende uguale con altrettanti 0 e si opera come sopra.

 N. B. Se nel dividendo soltanto vi fossero frazioni decimali, si potrebbe fare la divisione senza aggiungere i zeri al divisore; solo si deve avvertire di mettere una virgola nel quoziente quando si comincia a prendere una cifra decimale del dividendo, così per esempio 7, 26:3.

 Ma quando si aggiunge uno 0 per avere i decimi od i centesimi allora bisogna tosto mettere una virgola nel quoziente per separare gli interi dalle frazioni.

 1° Che talvolta si prende come unita di misura ciò che è multiplo della vera misura; ed in tal caso dietro a questo multiplo scrivasi subito la virgola, e i numeri che vengono in seguito saranno considerati come suoi sottomultipli o frazioni decimali.

 D. Che cosa s'intende per frazioni ordinarie?.

 R. Le frazioni ordinarie sono quelle che esprimono le parti dell'unità in qualunque modo questa sia divisa.

 D. Come si scrivono le frazioni?.

 D. Come si suddividono le frazioni ordinarie?.

 Dicesi numero misto quello composto di unità e di frazioni.

 Le frazioni improprie sono quelle che avendo il {41 [301]} numeratore più grande del denominatore non contengono solo delle parti dell'unità o solo unità intere, ma uniti e parti di unita, come 17 /

 Le frazioni proprie sono quelle che esprimono un numero minore dell'unità, come ½,

 Queste frazioni sebbene sieno scritte sotto forma di frazione equivalgono ad unità intere.

 R. Le frazioni si suddividono in proprie ed in improprie.

 D. Come si può ridurre un numero composto di interi e frazioni ad una sola frazione?.

 Quando il denominatore non sia contenuto nel numeratore si porrà nel quoziente uno zero seguito da una virgola e si aggiungerà pure al dividendo uno zero, e così si continuerà la divisione secondo le regole date superiormente; le cifre che si otterranno nel quoziente saranno frazioni decimali.

 Così facendo, si otterranno molte volte frazioni decimali equivalenti alle ordinarie, ed altre volte non si potranno avere tali frazioni decimali perfettamente equivalenti, ma si otterranno, frazioni decimali con valore tanto più approssimato, quanto più si continuerà la divisione.

 D. Non vi è alcun altro mezzo per ridurre le frazioni a minimi termini?.

 D. Che cosa vuol dire ridurre una o più frazioni allo stesso denominatore?.

 R. Vuol dire fare in modo che due o più frazioni vengano ad avere lo stesso denominatore senza che cambino di valore.

 {46 [306]} Come sì fa per ridurre le frazioni allo stesso denominatore?.

 R. Può accadere alcune volte che proposte più frazioni da ridursi, ve ne sia una il cui denominatore sia multiplo dei denom.

 D. Quanti casi presenta l'addizione delle frazioni?.

 R. Due casi: 1° L'addizione delle frazioni proprie ed improprie; 2° delle frazioni miste o numeri frazionari.

 R. Proposte due 0 più frazioni per farne l'addizione si devono ridurre prima di tutto allo stesso denominatore, se ancor non lo sono, poscia si fa l'addizione dei numeratori dando al totale il comun denominatore.

 R. Prima di tutto si fa l'addizione delle frazioni proprie nel modo indicato, se la frazione risultante è impropria, se ne estraggono gli interi; poscia si fa l'addizione di tutti gli interi.

 D. La sottrazione delle frazioni quanti casi presenta?.

 R. Presenta tre casi: 1° sottrazione di una frazione da un intero; 2° sottrazione di una frazione semplice da un'altra semplice; 3° sottrazione di frazioni miste.

 R. Si devono ridurre le due frazioni allo stesso denominatore, se non lo sono, quindi fare la sottrazione dei numeratori dando al residuo lo stesso denominatore.

 D. Come si fa la sottrazione delle frazioni nel terzo caso, quando cioè vi sono dei numeri frazionari?.

 R. Si riducono i numeri frazionari in frazioni improprie, quindi si riducono allo stesso denominatore, e si fa {49 [309]} la sottrazione nel modo indicato.

 D. Quanti casi di moltiplicazioni delle frazioni vi sono?.

 R. Tre casi: 1° moltiplicazione di un intero per una frazione e viceversa; 2° moltiplicazione di frazioni semplici; 3° moltiplicazione di numeri frazionari.

 R. Per moltiplicare due numeri frazionari prima si debbono ridurre in frazioni improprie e poscia eseguire la moltiplicazione nel modo sopraccennato.

 D. Quanti casi devonsi distinguere nella divisione delle frazioni?.

 R. Tre: 1° Divisione di un numero intero per una frazione e viceversa; 2° divisione di una frazione semplice per un'altra semplice; 3° divisione di frazioni fra cui ve ne siano delle miste.

 R. Per eseguire una divisione in cui vi siano delle frazioni miste, primieramente è necessario ridurre le frazioni miste in improprie, poscia capovolgere la frazione divisore, e quindi fare la moltiplicazione.

 R. Conviene ancora notare che avendo da ridurre intieri e frazioni del sistema antico, per abbreviare si riducono gli interi maggiori in minori: per esempio occorrendo rubbi, libbre e oncie, si ridurranno i rubbi in libbre; poscia tutte le libbre, in oncie; indi se ne farà la debita riduzione coi pesi del nuovo sistema.

 Nel prodotto si separeranno tre cifre di frazioni; onde si dirà: 45 piedi fanno 23 metri, più 130 millimetri, ovvero 13 centimetri.

 Per la moltiplicazione nel sistema antico eravamo mancanti di prova propriamente detta; era bensì da alcuni usata la regola del 9, ma la varietà delle frazioni la rendevano impraticabile.